MATERI PEMBELAJARAN

MATEMATIKA WAJIB

TRANSFORMASI FUNGSI

Translasi • Refleksi • Rotasi • Dilatasi

Jenjang: SMA/MA — Kelas XII

Alokasi Waktu: 4 x 45 menit (2 pertemuan)

A. Kompetensi dan Tujuan Pembelajaran

1. Capaian Pembelajaran

Peserta didik mampu memahami dan menerapkan konsep transformasi geometri (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi) terhadap titik, garis, kurva, maupun grafik fungsi, serta mampu menentukan hasil transformasi suatu fungsi secara aljabar dan geometris.

2. Tujuan Pembelajaran

1.     Peserta didik dapat mendefinisikan pengertian translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi pada bidang koordinat.

2.     Peserta didik dapat menentukan bayangan (hasil transformasi) suatu titik dan grafik fungsi akibat translasi.

3.     Peserta didik dapat menentukan bayangan suatu titik dan grafik fungsi akibat refleksi terhadap sumbu-x, sumbu-y, garis y = x, y = -x, dan titik asal.

4.     Peserta didik dapat menentukan bayangan suatu titik dan grafik fungsi akibat rotasi dengan pusat O(0,0) dan pusat P(a,b).

5.     Peserta didik dapat menentukan bayangan suatu titik dan grafik fungsi akibat dilatasi dengan berbagai faktor skala.

6.     Peserta didik dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan transformasi fungsi.

Transformasi geometri adalah suatu aturan atau fungsi yang memetakan setiap titik pada suatu bidang ke posisi titik lainnya pada bidang yang sama. Dalam konteks fungsi, transformasi digunakan untuk menggeser, mencerminkan, memutar, atau mengubah ukuran grafik suatu fungsi tanpa mengubah bentuk dasarnya. Terdapat empat jenis transformasi geometri dasar yang akan dipelajari, yaitu translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian/perbesaran-perkecilan).

Secara umum, jika titik A(x, y) ditransformasikan menjadi titik A'(x', y'), maka A' disebut sebagai peta atau bayangan dari titik A.

1. Pengertian

Translasi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan jarak dan arah tertentu tanpa mengubah bentuk, ukuran, maupun orientasi bangun. Translasi dinotasikan dengan T(a, b) yang berarti pergeseran sejauh a satuan searah sumbu-x dan b satuan searah sumbu-y.

2. Rumus Translasi Titik

3. Translasi pada Grafik Fungsi

Jika grafik fungsi y = f(x) ditranslasikan oleh T(a, b), maka bayangannya adalah:

Contoh 1:

Tentukan bayangan titik A(2, -3) oleh translasi T(4, 1).

Penyelesaian: A'(x + a, y + b) = A'(2 + 4, -3 + 1) = A'(6, -2).

Contoh 2:

Tentukan fungsi hasil translasi dari f(x) = x² oleh T(2, 3).

Penyelesaian: y = f(x - 2) + 3, sehingga y = (x - 2)² + 3.

1. Pengertian

Refleksi adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada suatu bidang menjadi bayangannya dengan sifat seperti pencerminan pada cermin datar, yaitu berjarak sama terhadap suatu garis atau titik cermin, namun berlawanan arah.

2. Rumus Refleksi Titik

Contoh 3:

Tentukan bayangan titik B(3, -5) jika dicerminkan terhadap sumbu-y.

Penyelesaian: B'(-x, y) = B'(-3, -5).

Contoh 4:

Tentukan bayangan fungsi f(x) = 2x + 1 oleh refleksi terhadap garis y = x.

Penyelesaian: bayangan diperoleh dengan menukar x dan y: x = 2y + 1, sehingga y = (x - 1)/2.

1. Pengertian

Rotasi adalah transformasi yang memutar setiap titik pada suatu bidang terhadap suatu titik tertentu (disebut pusat rotasi) sejauh sudut tertentu (disebut sudut rotasi). Arah rotasi berlawanan arah jarum jam bernilai positif, sedangkan searah jarum jam bernilai negatif.

2. Rotasi dengan Pusat O(0, 0)

Notasi rotasi sejauh sudut θ dengan pusat O ditulis R(O, θ). Rumus bayangan titik A(x, y) adalah:

3. Rotasi dengan Pusat P(a, b)

Untuk rotasi sejauh θ dengan pusat P(a, b), rumus bayangan titik A(x, y) adalah:

Contoh 5:

Tentukan bayangan titik C(4, 2) oleh rotasi R(O, 90°).

Penyelesaian: (x, y) → (-y, x), sehingga C'(-2, 4).

Contoh 6:

Tentukan bayangan fungsi f(x) = x² oleh rotasi R(O, 90°).

Penyelesaian: karena (x, y) → (-y, x), maka x' = -y dan y' = x, atau x = y' dan y = -x'. Substitusi ke y = x² diperoleh -x' = (y')², sehingga bayangannya adalah x = -y².

1. Pengertian

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran suatu bangun (memperbesar atau memperkecil) dengan faktor skala tertentu terhadap suatu titik pusat dilatasi, tanpa mengubah bentuknya. Dilatasi dinotasikan dengan D[P, k], dengan P sebagai pusat dilatasi dan k sebagai faktor skala.

Sifat faktor skala k:

•     Jika k > 1, bangun diperbesar dan searah pusat dilatasi.

•     Jika 0 < k < 1, bangun diperkecil dan searah pusat dilatasi.

•     Jika -1 < k < 0, bangun diperkecil dan berlawanan arah pusat dilatasi.

•     Jika k < -1, bangun diperbesar dan berlawanan arah pusat dilatasi.

2. Dilatasi dengan Pusat O(0, 0)

Bayangan grafik fungsi y = f(x) oleh dilatasi D[O, k] adalah:

3. Dilatasi dengan Pusat P(a, b)

Contoh 7: